Question

定义在R上f（x）满足：f（x+2）•f（x）=1，当x∈（0，2）时，f（x）=(

1

2

)x，则f（2011）=

2

．

Answer 1

分析：利用题中条件：“f（x+2）•f（x）=1”得出函数f（x）是周期函数，从而利用当x∈（0，2）时，f（x）=(

1

2

)x，求出f（1）的值，进而求出f（2011）即可．

解答：解：∵f（x+2）•f（x）=1
∴f（x+4）•f（x+2）=1，
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是一个周期为4的周期函数，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=

1

f(1)

=2．
故答案为：2

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．函数的周期性是高考函数题的重点考查内容，几个重要的周期公式要熟悉，如：（1）f（x+a）=f（x-a），则T=2a；（2）f（x+a）=-

1

f(x)

，则T=2a等．