Question

函数f（x）=x²+|x-a|，若f(

1

2

)和f(-

1

2

)都不是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（　　）

• A、(-∞，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C、(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• D、[

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：将函数f（x）=x²+|x-a|变为分段函数，再根据二次函数的性质对若f(

1

2

)和f(-

1

2

)都不是函数f（x）的最小值这种情况进行研究，得出参数a的取值范围

解答：解：由题意f（x）=x²+|x-a|=

x2+x-a ，x≥a x2-x+a ，x＜a

，
当x≥a时，函数的对称轴是x=-

1

2

，又f(-

1

2

)不是函数f（x）的最小值，故-

1

2

＜a
当x＜a时，函数的对称轴是x=

1

2

，又f(

1

2

)不是函数f（x）的最小值，故

1

2

＞a
∴-

1

2

＜a＜

1

2

∴a的取值范围是(-

1

2

，

1

2

)
故选C

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，求解本题的关键是把函数变为一个分段函数的形式，再根据二次函数的性质得出a的取值范围，本题分两类求参数，最后求它们的交集，此是本题的一个易错点，也是一个疑点，一般分类讨论都是求并集，本题因为在定义域的不同部分上求参数，故对定义域都有意义的参数必须是两类中参数的交集．此处的逻辑关系要好好体会．