Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）试问直线B₁D₁与AP能否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）分别求出两条直线所在的向量，再利用向量的有关运算判断两个向量的夹角，进而得到答案．
（II）求出直线所在的向量以及平面的法向量，再根据向量的有关运算表示出两个向量的夹角的正弦值，进而结合题意求出m的值．
（III）根据题意分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，m），
所以

B1D1

=(-1，-1，0)，  

AP

=(-1，1，m)，
所以

B1D1

•

AP

=1-1+0=0所以

B1D1

⊥

AP

．…（4分）
（Ⅱ）由题意可得：

BD

=(-1，-1，0)，  

B B   1

=(0，0，2)，

AC

=(-1，1，0)．
又∵

AC

•

BD

=0，  

AC

•

B B   1

=0，
∴

AC

为平面BB1D1D的一个法向量．
设直线AP与平面BDD₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=cos(

π

2

-θ)=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+ m 2

=

3

2

，解得m=

6

3

．
故当m=

6

3

时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°．…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，
∴P（0，1，1），
∴

D1A1

=(1，0，0)，  

D1P

=(0，1，-1)，

AB

=(0，1，0)，

AP

=(-1，1，1)．
设平面PA₁D₁的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
所以

n1 •  D1A1 =0 n1 •  D1P =0

，即

x1=0 y1-z1=0

，
所以可求得

n1

=(0，1，1)，
设平面PAB的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，同理可求得

n2

=(1，0，1)．
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

⇒?

n1

，

n2

＞=600，
故平面PA₁D₁与平面PAB所成角为60⁰．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题．