Question

根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式。
（1）a₁=3，a_n+1=2a_n+1；
（2）a₁=a，；
（3）对一切的n∈N*，a_n>0，且2=a_n+1。

Answer 1

解：（1）由已知可得a₁=3=2²-1，a₂=2a₁+1=2×3+1=7=2³-1，
a₃=2a₂+1=2×7+1=15=2⁴-1，
a₄=2a₃+1=2×15+1=31=2⁵-1，
猜想a_n=2^n-1-1，n∈N*；
（2）由已知可得a₁=a，

猜想
（3）∵，
∴=a₂+1，
即=a₁+1，
∴a₁=1，
又，
∴2=a₂+1
∴
∵对一切的n∈N*，a_n>0，
∴a₂=3，
同理可求得a₃=5，a₄=7，
猜想出a_n=2n-1（n∈N*）。