题目内容

已知函数f（x）=lg $数学公式$ ，其中a为常数，若当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围．

解：∵函数f（x）=lg $\text{[math]}$ ，其中a为常数，
∴ $\text{[math]}$ ＞0，且a²-a+1=（a- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ＞0，
∴1+2^x+4^x•a＞0，a＞-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
当x∈（-∞，1]时，y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是减函数，
∴y=-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）在（-∞，1]上是增函数，
-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）≤- $\text{[math]}$ ，
∴a＞- $\text{[math]}$ ，故a的取值范围是（- $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：由题设知 $\text{[math]}$ ＞0，且a²-a+1=（a- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ＞0，故1+2x+4x•a＞0，a＞-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），由此能求出a的取值范围．
点评：本题考查对数函数的性质的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
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已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
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恒成立；
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时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
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（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．