题目内容

是否存在常数m，使得等式sin50°•(m+
3
tan100)=1成立？如果存在，请求出常数m的值；如果不存在，请说明理由．
假设存在这样的常数m，则由sin500•(m+
3
tan100)=1
可得：m=
1
sin500
-
3
tan100=
1
sin500
-
3
sin100
cos100

=
1
cos400
-
3
sin100
sin800
=
2sin400-
3
sin100
sin800
=
2sin(300+100)-
3
sin100
cos100
=
cos100
cos100
=1
故存在这样的常数m=1使等式成立．
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是否存在常数m，使得等式sin50°•(m+
3
tan100)=1成立？如果存在，请求出常数m的值；如果不存在，请说明理由．
已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
f(x)
x
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
f(x)
x2
在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
（Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
（Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
x a b c a+b+c
f（x） d d t 4
求证：d（2d+t-4）＞0；
（Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得?f（x）∈Φ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
（2012•佛山二模）设曲线C：x2-y2=1上的点P到点An（0，an）的距离的最小值为dn，若a0=0，an=
2
dn-1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：
a1
a3
+
a3
a5
+…+
a2n-1
a2n+1
＜
a2
a4
+
a4
a6
+…+
a2n
a2n+2
；
（Ⅲ）是否存在常数M，使得对?n∈N*，都有不等式：
1
a
3
1
+
1
a
3
2
+…+
1
a
3
n
＜M成立？请说明理由．
已知直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线P的方程；
（2）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．
已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax2+y2=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有∠AOB=
π
3
，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有
OA
•
OB
为定值T？指出T的值；
（3）设动点P满足
MP
=
OA
+
OB
，当a=-2，m变化时，求点P的轨迹方程；
（4）是否存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有
OA
•
OB
＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，说明理由．

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