题目内容
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-
）=2
．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
•
=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
|
| π |
| 4 |
| 2 |
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
| OA |
| OB |
分析：（Ⅰ）由于t≠0，可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4，分t=±1和t≠±1时，分别讨论曲线
的形状．
（Ⅱ）直线与切线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，可求实数t的值．
| x2 |
| t2 |
的形状．
（Ⅱ）直线与切线方程联立，利用韦达定理，结合向量知识，可求实数t的值．
解答：解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4．…（2分）
①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）
联立直线与曲线的方程，消y得
+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3
又x1+x2=-
，x1x2=
，…（ …（10分）
故
•
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．
解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（12分）
| x2 |
| t2 |
①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）
联立直线与曲线的方程，消y得
| x2 |
| t2 |
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3
又x1+x2=-
| 8t2 |
| 1+t2 |
| 12t2 |
| 1+t2 |
故
| OA |
| OB |
解得t2=3与t2＞3相矛盾． 故不存在满足题意的实数t．…（12分）
点评：本题考查直线的参数方程，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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