Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=3n2+5n，数列{b_n}中b₁=8，b_n=64b_n+1．
（1）求{b_n}的通项b_n；
（2）证明{a_n}是等差数列；
（3）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有a_n=log_ab_n+b成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）bn=64bn+1?

bn+1

bn

=

1

64

，
∴q=

1

64

，
∴bn=83-2n…（3分）
（2）当n≥2时：an=Sn-Sn-1=3n2+5n-3(n-1)2-5(n-1)=6n+2
又n=1时：a₁=S₁=8=6×1+2
∴a_n=6n+2．…（6分）
∴a_n-a_n-1=6n+2-6（n-1）-2=6
∴{a_n}是等差数列 …（7分）
（3）假设存在这样的a、b，使得对一切自然数n都有a_n=log_ab_n+b成立，则6n+2=logabn+b=loga83-2n+b=(3-2n)loga8+b=nloga8-2+b+3loga8．
令

6=loga8-2 2=b+3loga8

…（10分）
即

a6=8-2=( 1 2 )6 b=2-3loga8

，
∴

a= 1 2 b=11.

∴存在这样的数a=

1

2

，b=11．…（12分）