Question

一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0海里后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达C，此船因应该以怎样的方向航行，需要航行的距离的多少？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01n mile）
注：cos137°≈-0.7314，sin137°≈0.6820sin19°≈0.3255，cos19°≈0.9455．

Answer 1

分析：由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=137°，AB=67.5，BC=54，故可由余弦定理求出边AC的长度，由于此时在△ABC中，∠ABC=137°，三边长度已知，故可由正弦定理建立方程

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，求出∠CAB的正弦值，然后求出北偏东的度数．

解答：解：由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，AB=67.5，BC=54
根据余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cos∠ABC=67.5²+54²+2×67.5×54×0.7314=12804.156
AC=113.16
根据正弦定理，

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠ABC

，
sin∠BAC=

BC•sin∠ABC

AC

=

54×0.6820

113.16

≈0.3255．
∠BAC≈19°，北偏东75°-19°=56°．
答：此船因应该以北偏东56°方向航行，需要航行的距离的113.16海里．

点评：本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想．