题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）令 $数学公式$ ，确定b_n与b_n-1（n≥2）的关系；
（2）求{a_n}的通项．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
∴当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1，
∴ $\text{[math]}$ -n²（n-1），
即（n²-1）S_n= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
从而b_n-b_n-1=n．
（2）由（1）知
b_n-b₁=n+（n-1）+…+2= $\text{[math]}$ ，
b₁=2S₁=1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
a_n=S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当n=1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，用迭代法能求出（n²-1）S_n= $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，能确定b_n与b_n-1（n≥2）的关系．
（2）由（1）知b_n-b₁=n+（n-1）+…+2= $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，由此求出S_n，从而能求出{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和等价转化思想的灵活运用．