Question

定义在{x|x∈R，x≠1}上的函数f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），当x＞1时，f(x)=(

1

2

)x，则函数f（x）的图象与函数g(x)=

1

2

cosπ(x+

1

2

)(-3≤x≤5)的图象的所有交点的横坐标之和等于

8

．

Answer 1

分析：确定函数f（x）的图象关于（1，0）对称，利用对称性，结合中点坐标公式，即可求得结论．

解答：解：∵函数f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），
∴f（1-x）+f（1+x）=0，
∴函数f（x）的图象关于（1，0）对称
∵g(x)=

1

2

cosπ(x+

1

2

)=-

1

2

sinπx(-3≤x≤5)
∴函数f（x）的图象与函数g(x)=

1

2

cosπ(x+

1

2

)(-3≤x≤5)的图象，如图所示
所有交点的横坐标之和等于2（-1.5+0.5+1.5+4.5）=8
故答案为：8．

点评：本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．