Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知Sn=2an-2n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=log

an

n+1

2，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有B3n-Bn＞

m

20

成立，求m的最大值；
（3）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时，T2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（1）由条件可得an=2an-2an-1-2n，再化为

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，可得数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列，求出a₁的值，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（2）因为bn=log

an

n+1

2=log2n2=

1

n

，则B3n-Bn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，化简 f（n+1）-f（n），再用放缩法证明它大于零，可得
数列{f（n）}为递增数列，由此求得它的最小值

19

20

，由

m

20

＜

19

20

求得m的最大值．
（3）因为cn=(-1)n+1•

1

n

，则当n≥2时，化简T_2n为

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，再通过证明当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

，来证明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

．

解答：（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．（2分）
又S1=2a1-22，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故an=(n+1)•2n．（4分）
（2）因为bn=log

an

n+1

2=log2n2=

1

n

，则B3n-Bn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

．
令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，则f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为f(2)=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
据题意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m为整数，故m的最大值为18．（8分）
（3）因为cn=(-1)n+1•

1

n

，则当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．（9分）
下面证

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜

2

2

先证一个不等式，当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

⇒ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，…，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

2

．               （14分）

点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式综合，数学归纳法的应用，属于难题．