Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*，n≥2时，a_n=

an-1

an-1+1

，则数列{a_n}的通项公式a_n=

1

n

．

Answer 1

分析：数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*，n≥2时，a_n=

an-1

an-1+1

，故a2=

1

1+1

=

1

2

，a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，由此猜想，an=

1

n

．由数学归纳法能够进行证明．

解答：解：数列{a_n}中，a₁=1，
当n∈N^*，n≥2时，a_n=

an-1

an-1+1

，
∴a2=

1

1+1

=

1

2

，
a3=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，
由此猜想，an=

1

n

．
由数学归纳法进行证明：
①n=1时，a1=

1

1

=1，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=

1

k

，
则当n=k+1时，ak+1=

1 k

1 k +1

=

1

k+1

，也成立，
由①②知，an=

1

n

．
故答案为：

1

n

．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行猜想和数学归纳法的灵活运用．