Question

已知函数f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

） （x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）=1-

2

且x∈[-

π

4

，

π

4

]，求x的值；
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+2sin²（x-

π

12

）
=

3

sin（2x-

π

6

）+1-cos（2x-

π

6

）
=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1=1-

2

，
∴sin（2x-

π

3

）=-

2

2

，
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴2x-

π

3

=-

3π

4

或2x-

π

3

=-

π

4

，
∴x=-

5π

24

或x=

π

24

．
（Ⅲ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．