Question

（本小题满分14分）集合A是由适合以下性质的函数构成的；对于任意的，都有

  （1）分别判断函数是否在集合A中？并说明理由；

  （2）设函数，试求|2a+b|的取值范围；

  （3）在（2）的条件下，若，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当恒成立，试求用a表示m的表达式.

Answer 1

（2）     

解析:

（I） 证明：任取，且，则

        

    因为

       所以，，   所以，，也即：；      对于，只需取则

而，所以， 

（II）因为属于集合A，所以，任取，则

 也即：  ①

设，则上式化为：  ②因为所以

①式对任意的恒成立，即②式对恒成立，

可以证明  所以，，即

（III）由可知：. 又由（II）可知：，所以，

i）当时，为单调递增函数，  令 

ii）当时，

此时，，且当时，的最小值为

若，即时，为方程的较小根.

所以， 

若，即时，由于在上单调递增，所以，为方程的较大根，所以，.

综上可知：.