Question

已知函数f(x)=A(

3

sinωx+cosωx)+k，  (A＞0，ω＞0)的最大值为3，最小值为-1，其图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2007）=

2006

．

Answer 1

分析：由题意利用函数的最大值与最小值，求出A与k，利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求出函数的周期，得到ω，通过周期确定答案．

解答：解：函数f(x)=A(

3

sinωx+cosωx)+k=2Asin(ωx+

π

6

) +k，(A＞0，ω＞0)的最大值为3，最小值为-1，
所以A=1，k=1，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以T=4，ω=

π

2

，函数的表达式为：f(x)=2sin(

π

2

x+

π

6

) +1，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4+2（

3

2

-

1

2

-

3

2

+

1

2

）=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2007）=4×502-1-2×

1

2

=2006．
故答案为：2006．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期性的应用，考查计算能力．