Question

已知圆C：x²+y²-10x-2y+10=0．
（Ⅰ）若过点（4，-2），倾斜角为135°的直线l与圆C交于A，B两点，求AB的长；
（Ⅱ）求经过点M（1，-1），且与圆C相切于点N(

9

5

，-

7

5

)的圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，写出直线l的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理求弦长；
（Ⅱ）设出圆的标准方程，由已知条件列关于圆心坐标和半径的方程组，求解方程组得圆心坐标和半径，则圆的方程可求．

解答：解：由圆C：x²+y²-10x-2y+10=0，得（x-5）²+（y-1）²=16，
∴圆C的圆心为（5，1），半径为4．
（Ⅰ）过点（4，-2），倾斜角为135°的直线l方程为：x+y-2=0．
圆心（5，1）到直线x+y-2=0的距离为d=

|1×5+1×1-2|

2

=2

2

．
∴|AB|=2

16-(2 2 )2

=4

2

；
（Ⅱ）设所求圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，
则圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．
∴

(1-a)2+(-1-b)2=r2 ( 9 5 -a)2+(- 7 5 -b)2=r2 1+ 7 5 5- 9 5 = b-1 a-5

，解得：

a=- 27 5 b=- 34 5 r2=81

．
∴经过点M（1，-1），且与圆C相切于点N(

9

5

，-

7

5

)的圆的方程为(x+

27

5

)2+(y+

34

5

)2=81．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆与圆的位置关系，训练了利用待定系数法求圆的方程，考查了计算能力，是中档题．