Question

【题目】是否存在一个等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1+a6=11且a3a4= ；②an+1＞an（n∈N*）；③至少存在一个m（m∈N*且m＞4），使得 am﹣1 ， am2 ， am+1+ 依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：假设存在等比数列{an}同时满足三个条件， 由①可得 ，
由②可知数列{an}是递增的，则a6＞a1 ，
解上面方程组得 ，
设等比数列的公比q，则 ，q=2．
此时 ．
由③可知
．
解得m=3，与已知m＞4矛盾．
故这样的数列{an}不存在
【解析】假设存在等比数列{an}同时满足三个条件，由①②结合等比数列的性质求得a1、a6的值，从而求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式，结合 am﹣1 ， am2 ， am+1+ 成等差数列求出m的值为3，与m＞4矛盾，说明假设错误．
【考点精析】关于本题考查的等差数列的性质，需要了解在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能得出正确答案．