题目内容

在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(x)=4cosxsin2(
π
4
+
x
2
)+
3
cos2x-2cosx．
（1）若f（B）=2，求角B；
（2）若f（B）-m＞2有解，求实数m的取值范围；
（3）求f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)+…+f(
2003π
4
)的值．
（1）∵sin2(
π
4
+
x
2
)=
1-cos(
π
2
+x)
2
=
1+sinx
2
，
∴f（x）=4cosx×
1+sinx
2
+
3
cos2x-2cosx
=2cosx+sin2x+
3
cos2x-2cosx
=2sin(2x+
π
3
)．
∵f（B）=2，∴2sin(2B+
π
3
)=2，∴sin(2B+
π
3
)=1．
∵0＜B＜π，∴
π
3
＜2B+
π
3
＜2π+
π
3
，
∴2B+
π
3
=
π
2
，解得B=
π
12
．
（2）由（1）可知：f（B）∈[-2，2]，
∵f（B）-m＞2有解，∴2+m＜[f（B）]max，∴2+m＜2，解得m＜0．
∴m的取值范围是（-∞，0）．
（3）∵f（x）的周期是π，且f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)+f(π)=2[sin(
π
2
+
π
3
)+sin(π+
π
3
)+sin(
3π
2
+
π
3
)+sin(2π+
π
3
)]
=2[cos
π
3
-sin
π
3
-cos
π
3
+sin
π
3
]=0．
∴f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)+…+f(
2003π
4
)
=500×4×0+f(
2001π
4
)+f(
2002π
4
)+f(
2003π
4
)=f(
π
4
)+f(
2π
4
)+f(
3π
4
)
=2×(-sin
π
3
)=-
3
．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．满足2acosC+ccosA=b．则sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2
在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面积为10
3
cm2，周长为20cm，求此三角形的各边长．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面积S=
3
3
2
，求边c的值．
在△ABC中，A，B，C为三个内角，若cotA•cotB＞1，则△ABC是（　　）
已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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