Question

已知函数f(x)=

2

x

+alnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数g（x）=x²f'（x）+2x³，若函数g（x）的最小值为-2-8

2

，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

（Ⅰ）因为f(x)=

2

x

+4lnx
所以f′(x)=-

2

x2

+

4

x

=

4x-2

x2

当0＜x＜

1

2

时，f'（x）＜0，∴递减区间为（0，

1

2

）；
当x＞

1

2

时，f'（x）＞0，∴递增区间为(

1

2

，+∞)
（Ⅱ）令f′(x)=-

2

x2

+

a

x

≥0
∴

a

x

≥

2

x2

又∵x≥1
∴a≥

2

x

恒成立
又因为

2

x

≤2在x[1，+∞）上恒成立
∴a≥2
（Ⅲ）∵g(x)=x2(-

2

x2

+

a

x

)+2x3=2x3+ax-2（x＞0）
∴g'（x）=6x²+a
当a≥0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值；
∴a＜0
令g'（x）=0则x0=

- a 6

?a=-6x₀²
当0＜x＜x₀时，g'（x）＜0，g（x）递减；
当x＞x₀时，g'（x）＞0，g（x）递增；
∴当x=x₀时，g（x）取最小值-2-8

2

．
g(x0)=2

x

30

+ax0-2=2

x

30

-6

x

20

•x0-2=-4

x

30

-2=-8

2

-2
∴

x

30

=2

2

∴x0=

2

∴a=-12
∴f(x)=

2

x

-12lnx