Question

（2010•广州模拟）直线y=kx+b与圆x²+y²=4交于A、B两点，记△AOB的面积为S（其中O为坐标原点）．
（1）当k=0，0＜b＜2时，求S的最大值；
（2）当b=2，S=1时，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）通过k=0，求出直线方程，设出A，B坐标，求出|AB|，写出面积的表达式，利用基本不等式求S的最大值；
（2）当b=2，S=1时，设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，求出面积的表达式，得到k²-4|k|+1=0，然后求实数k的值．

解答：解：（1）当k=0时，直线方程为y=b，
设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b），
由x²+b²=4，解得x1，2=±

4-b2

，
所以|AB|=|x2-x1|=2

4-b2

．
所以S=

1

2

•|AB|•b=b

4-b2

≤

b2+4-b2

2

=2．
当且仅当b=

4-b2

，即b=

2

时，S取得最大值2．
（2）设圆心O到直线y=kx+2的距离为d，则d=

2

k2+1

．
因为圆的半径为R=2，
所以

|AB|

2

=

R2-d2

=

4- 4 k2+1

=

2|k|

k2+1

．
于是S=

1

2

|AB|×d=

2|k|

k2+1

×

2

k2+1

=

4|k|

k2+1

=1，
即k²-4|k|+1=0，解得|k|=2±

3

．
故实数k的值为2+

3

，2-

3

，-2+

3

，-2-

3

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，三角形面积公式的应用，考查函数与方程的思想，计算能力．