Question

解答题 已知三棱锥P－ABC中，PA＝PC，APC＝ACB＝900，BAC＝300， 平面PAC平面PBC (1) 求证：平面PAB平面PB (2) 求二面角P－AB－C的大小 (3) 若PA＝2，求三棱锥P－ABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法1：由题意，APC＝ACB＝900得APPC……………………(1分) 又平面PAC平面PBC，BCAC，BC平面ABC，面PAC面PBC＝AC，得BC平面PAC………………(2分) 而AP面PAC，则APBC…………………………(3分) 且BC，PC是平面PC内两相交直线，得AP面PBC 而AP面PAC得平面PAB平平面PBC．…………………………(4分) 　　解法2：取AC中点O．AB中点D，则PO⊥面ACB，OD∥BC，OD⊥AC，故以O点为原点，OC，OD，OP分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝2，则AC＝2，OP＝，A(－，0，0)，C(，0，0)，P(0，0，)，D(0，1，0)，B(，2，0)，＝(，0，)，＝(－，0，)，＝(0，2，0)，．＝(，0，)．(－，0，)＝－3＋0＋3＝0……………………(2分) ＝(，0，)(0，2，0)＝0 ∴AP⊥CP，AP⊥CB且CP和CB是平面PBC内两相交直线，则AP⊥面PBC，而AP面PAC，得平面PAB平平面PBC．……………………(4分)
(2)	解法1：取AC中点O，连PO．由AP＝PC，APC＝900，得三角形APC为等腰直角三角形，得POAC，又平面PAC平面PBC 所以PO面ABC，作OGAB于G，连PG．由三垂线定理得，ABPG，则PGO是二面角P－AB－C的平面角……………………(6分)． 在直角三角形AOG中，A＝300，则OG＝AO/2＝PG/2，tanPGO＝PG/OG＝2，PGO＝argtan2所求的二面角的大小为argtan2．……………………(8分) 　　解法2：设＝(x，y，z)是平面APB的法向量，则＝0，＝0，x＋z＝0；2x＋2y＝0，令x＝1，y＝－，z＝－1 ∴＝(1，，－1)，＝(0，0，)是平面ACB法向量，＝，＝，COS＜，＞＝＝－．则平面角P－AB－C的平面角的大小为：argcos．……………………(8分)
(3)	解法1：若PA＝2，则AC＝2，BC＝，PO＝， VP－ABC＝ABBCPO＝2＝………(12分)