Question

正实数a，b是区间（0，1）的任意值，把事件“函数y=ln(x+

a

x

-

b

)在（0，1）上的值域为实数集R”，记为事件A，则事件A的概率为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  1

  4

• C．

  7

  8

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由于

0＜a＜1 0＜b＜1

组成的区域是边长为1的正方形，面积为1，若函数y=ln(x+

a

x

-

b

)在（0，1）上的值域为实数集R，则只要f（x）=x+

a

x

-

b

能取得所有的正值，即f(x)min=f(

a

)≤0，可得a，b的不等式，求出其对应区域的面积代入概率公式即可求解

解答：解：由题意可得，

0＜a＜1 0＜b＜1

∵函数y=ln(x+

a

x

-

b

)在（0，1）上的值域为实数集R
令f（x）=x+

a

x

-

b

则可得f（x）在（0

a

]上单调递减，在[

a

，1）上单调递增
∴f(x)min=f(

a

)=2

a

-

b

≤0
∴4a≤b，其对应区域如图所示的阴影部分
由题意可得A（0，1），B（

1

4

，1）
∴S_△AOB=

1

2

×1×

1

4

=

1

8

∴P=

1 8

1

=

1

8

故选D

点评：本题主要考查了与面积有关的结合概率的求解，解题的关键是寻求满足已知函数的值域为R的条件．