题目内容

设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且|PF1|=
3
|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）
A、
2
+1
2
B、
2
+1
C、
3
+1
2
D、
3
+1
分析：利用向量的加减法可得(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0，故有 OP=OF2=c=OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2=30°，由sin30°=
1
2
=
PF2 
F1F2
 求出离心率．
解答：解：∵(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0，∴(
OP
+
OF2
)•(
OP
-
OF2
)=0，
∴
OP
2-
OF2
2=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，
Rt△PF1F2 中，∵|PF1|=
3
|PF2|，∴∠PF1F2=30°．
由双曲线的定义得   PF1-PF2=2a，∴PF2=
2a
3
-1
，
sin30°=
1
2
=
PF2 
F1F2
=
2a
3
-1
2c
=
a
c(
3
-1)
，∴2a=c（
3
-1），
∴
c
a
=
3
+1，
故选D．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断△PF1F2是直角三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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设F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若
PF1
•
PF2
=0 且|
PF1
||
PF2
|=2ac（c=
a2+b2
），则双曲线的离心率为（　　）
A、
1+
5
2
B、
1+
3
2
C、2
D、
1+
2
2
（2010•宝山区模拟）双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上一点(2，
3
)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若
OP
=
OA
+
OB
，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
设F1、F2是双曲线x2-
y224
=1的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
24
24
．
（2013•许昌三模）设F1，F2是双曲线
x2
3
-y2=1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，
PF1
•
PF2
的值为（　　）
设F1、F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(
OP
+
OF2
)•
F2P
=0（O为坐标原点），且tan∠PF2F1=2，则双曲线的离心率为（　　）

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