Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（0，0），导数f′（x）=2x+1，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）是整数的个数记为a_n．
（1）求a、b、c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令b_n=

2

anan+1

，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根据f（0）=0求得c，进而对函数f（x）的解析式求导，进而求得b和a．
（2）先根据题意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1进而求得 a_n+1两式相减可推断数列{a_n}是等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，进而利用裂项法求和．

解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依题意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，a_n+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a₁=5
∴数列{a_n}是以5为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3
（3）b_n=

2

anan+1

=

1

2n+3

-

1

2n+5

，{bn}的前n项和 S_n=

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

--

1

2n+5

=

1

5

--

1

2n+5

=

2n

5(2n+5)

点评：本题主要考查了等差数列的性质和用裂项法数列求和．高考中数列题往往与不等式、函数等知识综合考查，所以平时应加强这方面的复习．