Question

（2012•张掖模拟）已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，a_n=b_n•（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）证明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³（其中e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，求出公比与首项，即可得出通项公式；
（2）由题意，要证明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³，只需证ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜3．令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0），证明ln（1+x）＜x，进而只要证明ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜ln2+

2

2

+…+

n

2n-1

，利用错位相减法求和，即可得到结论．

解答：（1）解：∵S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，
∴

b1(1+q+q2)=14 6b1q=b1+b1q2+14

∴2q²-5q+2=0
∴q=2或q=

1

2

∵q＞1
∴q=2，∴b₁=2
∴b_n=2ⁿ；
（2）证明：当n≥2时，a_n=b_n•（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）=2ⁿ-2
∴1+

n

an

=1+

n

2n-2

．
要证明：（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³，
只需证ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜3．
令f（x）=ln（1+x）-x（x＞0）
则f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
∵f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x．
从而当n≥2时，ln（1+

n

2n-2

）＜

n

2n-2

＜

n

2n-1

∴ln2+ln（1+

2

22-2

）+…+ln（1+

n

2n-2

）＜ln2+

2

2

+…+

n

2n-1

令T_n=

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
∴

1

2

T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②得

1

2

T_n=1+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

3

2

-

n+2

2n

∴T_n=3-

n+2

2n-1

＜3
∴（1+

1

a1

）（1+

2

a2

）…（1+

n

an

）＜e³．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列通项公式的求法，考查不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．