Question

【题目】已知函数（k为常数，e为自然对数的底数），曲线在点（1, f (1)）处的切线与x轴平行.

（1）求k的值；

（2）求的单调区间；

（3）设其中为的导函数，证明：对任意

Answer 1

【答案】(1);(2) 在区间内为增函数；在内为减函数;(3)见解析.

【解析】分析：（1）由导数的几何意义得，即可得解；

（2）求导，导数大于0可得增区间，导数小于0可得减区间；

（3）由，当，分析单调性易证得成立；当，分析不等式，只需证即可，设，求导求最值即可证得，，从而得证.

详解：（1）由f(x) = 可得，而，

即，解得；

（2），令可得，

当时，；

当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数.

（3），

当时， ，.

当时，要证.

只需证即可

设函数.

则，

则当时，

令解得，

当时；当时，

则当时，且，

则，于是可知当时成立

综合（1）（2）可知对任意x＞0，恒成立.

【另证1】设函数，则，

则当时，

于是当时，要证，

只需证即可，

设，，

令解得，

当时；当时，

则当时，

于是可知当时成立

综合（1）（2）可知对任意x＞0，恒成立.

【另证2】根据重要不等式当时，即，（要证明）

于是不等式，

设，，

令解得，

当时；当时，

则当时，

于是可知当时成立.