Question

已知数列 {a_n}和{b_n}满足 a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

，{b_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ） 当λ=-

1

2

时，试判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=1代入a_n+1=λa_n+n，求出a₁，a₂和a₃，假设是等差数列，推出矛盾，从而进行证明；
（Ⅱ）把λ=-

1

2

代入an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

，对b_n进行化简，对于首项要进行讨论，从而进行判断；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，求出T_n的最大值和最小值即可，对于n的奇偶性要进行讨论，求出T_n的范围，从而求解；

解答：解：（Ⅰ）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ(λ+1)+2=λ2+λ+2…（2分）
假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，得λ2+λ+3=2(λ+1)
即λ²-λ+1=0，△=-3＜0，方程无实根．
故对于任意的实数λ，
{a_n}一定不是等差数列…（5分）
（Ⅱ）当λ=-

1

2

时，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

∴当m≠

2

9

时，{bn}是以m-

2

9

为首项，-

1

2

为公比的等比数列…（9分）
当m=

2

9

时，{bn}不是等比数列…（10分）
（Ⅲ）当m=

2

9

，Tn=0，不成立…（11分）
当m≠

2

9

时Tn=

2

3

(m-

2

9

)[1-(-

1

2

)n]
当n为奇数时[1-(-

1

2

)n]∈(1，

3

2

]，
当n为偶数[1-(-

1

2

)n]∈[

3

4

，1)…（14分）
∵1≤T_n≤2对任意的n∈N^*恒成立，
∴

2 3 (m- 2 9 )× 3 2 ≤2 2 3 (m- 2 9 )× 3 4 ≥1

解得m=

20

9

从而求得m=

20

9

…（16分）

点评：此题主要考查等差数列前n项和公式及其应用，第三问需要讨论n的奇偶性，有一定的难度，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；