Question

如图，已知矩形中，为的中点，沿将三角形折起，使.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取中点H，先证明垂直于平面,进而证明平面；（Ⅱ）建立直角坐标系，构造向量,平面的法向量，利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）∵在矩形中，为的中点，

∴为等腰直角三角形，

∴,即.                 （1分）

取中点H，连结，则，

在中，,

在中，又，

                （2分）

又                  （3分）

∴面，                    （4分）

而平面，                   （5分）

∴平面⊥平面.                 （6分）

（Ⅱ）解：分别以直线为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

∴  （7分）

设平面的一个法向量为

由得

即令则，

取                        （9分）

设为直线与平面所成的角，

则                （11分）

即直线与平面所成角的正弦值为         （12分）

考点：1.面面垂直的判定；2.线面角的求解;3利用空间直角坐标系求线面角.