题目内容
如图，椭圆
经过点
，离心率
，直线
的方程为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
)，设直线与直线相交于点
，记
的斜率分别为
.问：是否存在常数
，使得
？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(1)
；(2)
.
解析试题分析：（1）将点代入椭圆的方程得到
，结合离心率
且
，即可求解出
，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线
的方程为
，并设
，联立直线的方程与椭圆的方程，消去
得到
，根据二次方程根与系数的关系得到
，由直线及的方程确定点的坐标（含
），进而得到
，
进而整理出
（注意关注并应用
共线得到
），从而可确定的取值.
试题解析：(1)由在椭圆上得， ①
依题设知
，则
②
②代入①解得
故椭圆
的方程为
(2)由题意可设的斜率为
， 则直线的方程为 ③
代入椭圆方程
并整理
得
设，则有 ④
在方程③中令
得，
的坐标为
从而
注意到共线，则有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又
，所以
.故存在常数符合题意.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.
练习册系列答案
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＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
，且
.
的轨迹
的方程；
，若斜率为
的直线
过点
并与轨迹
，且对于轨迹
，都存在
，使得
成立，试求出满足条件的实数
的值.
.
+
=1(a>b>0)的两个焦点.
过点P(1, 
)，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝
,M,N是直线x＝4上的两个动点，且
·
＝0.