题目内容
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图2是一个水车工作的示意图,它的直径为3 m,其中心(即圆心)O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是
min.在水车轮边缘上取一点P,点P距水面的高度为h(m).
图2
(1)求h与时间t的函数解析式,并作出这个函数的简图.
(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?
活动与解答:不妨设水面的高度为0,当P点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.显然,h与t的函数关系是周期函数的关系.
如图2,设水车的半径为R,R=1.5 m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m;∠QOP为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=(min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω,ω=
=
rad/s.
为了方便,不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时(t=0),在t时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP=α=ωt=
t(rad).
过P点向水面作垂线,交水面于M点,PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线,交PM于N点,∠QON为φ.
从图中不难看出:
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①
这是一个由三角函数确定的数学模型.
从图中可以看出:sinφ=
,所以φ≈53.1°≈0.295π rad.
把前面已经确定了的参数α,φ,R和b代入①式,我们就可以得到
h=1.5 sin(
t-0.295π)+1.2(m).②
这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.
因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),
此时t=
≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图3):
t | 11.8 | 31.8 | 51.8 | 71.8 | 91.8 |
h=1.5sin( | 1.2 | 2.7 | 1.2 | -0.3 | 1.2 |
t-0.295π)+1.2
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.
点评:面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.
