题目内容
水车问题.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，图1-6-5是一个水车的示意图，它的直径为3 m，其中心(即圆心)O距水面1.2 m.如果水车每4 min逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P，我们知道在水车匀速转动时，P点距水面的高度h(m)是一个变量，显然，它是时间t(s)的函数.我们知道，h与t的函数关系反映了这个周期现象的规律.为了方便，不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始记时(t=0).
首先，设法用解析式表示出这个函数关系，并用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图.
图1-6-5
其次，我们讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？
解：不妨设水面的高度为0，当P点旋转到水面以下时，P点距水面的高度为负值.
如图，设水车的半径为R，R=1.5 m,水车中心到水面的距离为b，b=1.2 m；∠QOP为α；
水车旋转一圈所需的时间为T；单位时间(s)旋转的角度(rad)为
.
过P点向水面作垂线，交水面于M点，PM的长度为P点的高度h.
过水车中心O作PM的垂线，交PM于N点，∠QON为φ.
从图中不难看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b. ①
用ω表示单位时间(s)内水车转动的角度(rad)，这样，在t时刻水车转动的角度为：α=ωt.
因为单位时间内水车转动的角度是ω，所以转一圈所用的时间T=
.
又由于水车轮每4 min转3圈，水车旋转一圈所需时间为T=80 s，可求出ω=
rad/s.
从图中可以看出：sinφ=
，
所以φ≈53.1°≈0.295π rad.
把这些参数代入①，我们就可以得到h=1.5 sin(
t-0.295π)+1.2(m)， ②
这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数关系式.
因为当P点旋转到53.1°时，P点到水面的距离恰好是1.2(m)，此时t=
≈11.8(s).
故可列表、描点，画出函数在区间［11.8，918.］上的简图：
t | 11.8 | 31.8 | 51.8 | 71.8 | 91.8 |
h=1.5sin( | 1.2 | 2.7 | 1.2 | -0.3 | 1.2 |
t-0.295π)+1.2(m)
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面之间的距离发生改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时，参数b减小；水面回落时，参数b增大.如果水车轮转速加快，将使周期T减小；转速减慢，则使周期T增大.
