Question

（2012•韶关一模）已知函数f(x)=log

2

x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_n•f（a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n的最小值..

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=log

2

x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列，可得an=2n，从而可得数列{a_n}是等比数列；
（2）写出通项，利用错位相减法求和，确定其单调性，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n的最小值．

解答：（1）证明：∵函数f(x)=log

2

x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴log

2

an=2+（n-1）×2=2n
∴an=2n
∵

an+1

an

=2
∴数列{a_n}是等比数列；（7分）
（2）解：由（1）知，bn=an•f(an)=n•2n+1．…（8分）
∴Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，①
2Sn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2②…（10分）
②-①，得Sn=-22-23-24-…-2n+1+n•2n+2=-

22(1-2n)

1-2

+n•2n+2
∴Sn=(n-1)2n+2+4…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是递增数列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查错位相减法求数列的和，考查单调性，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．