Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明PA⊥BD，只需证明BD⊥平面PAD，即需证明BD⊥AD，BD⊥PD；
（2）建立空间直角坐标系，表示出点与向量，求出设平面PAB的法向量

n

=(

3

，1，

3

)，平面PBC的法向量

m

=（0，-1，-

3

），利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-C的余弦值．

解答：（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得BD=

3

AD=

3

从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD             
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD （6分）
（2）解：如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，P（0，0，1）．
∴

AB

=(-1，

3

，0)，

PB

=(0，

3

，-1)，

BC

=(-1，0，0)
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB =0 n • PB =0

，即 

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

因此可取

n

=(

3

，1，

3

)
设平面PBC的法向量为

m

=（x′，y′，z′），则 

m • PB =0 m • BC =0

，即

3 y′-z′=0 x′=0

可取

m

=（0，-1，-

3

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-4

2 7

=-

2 7

7

故二面角A-PB-C的余弦值为-

2 7

7

． （12分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，正确运用向量求面面角．