Question

已知函数f（x）=ax²+bx-a+2
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；
（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax²+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；
（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与

a-2

a

的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．

解答：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）
∴-1，3是方程ax²+bx-a+2=0的两根，
∴可得

a-b-a+2=0 9a+3b-a+2=0

，解之得

a=-1 b=2

------------（5分）
（2）当b=2时，f（x）=ax²+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），
∵a＞0，∴(x+1)(ax-a+2)＞0?(x+1)(x-

a-2

a

)＞0
①若-1=

a-2

a

，即a=1，解集为{x|x≠-1}．
②若-1＞

a-2

a

，即0＜a＜1，解集为{x|x＜

a-2

a

或x＞-1}．
③若-1＜

a-2

a

，即a＞1，解集为{x|x＜-1或x＞

a-2

a

}．------------（14分）

点评：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．