题目内容
设一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;
(2)求证：{an-
}是等比数列；
（3）当a1=
时，求数列{an}的通项公式.
(1)解：根据根与系数关系，有关系式
代入题设条件6（α+β）-2αβ=3,
得=3,∴an+1=
an+
.
(2)证明：由于an+1=
an+
,这是数列{an}中相邻两项之间的递推公式.现把这一递推关系式转化为等比数列的形式.
∵an+1=
an+
,
∴an+1-
=
,故数列{an-
}是公比为12的等比数列.
(3)解：当a1=
，a1-
=
.
∴an-
=(a1-
)×(
)n-1=(
)n.
∴an=23+12n,n∈N+.
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，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
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