Question

平面直角坐标系中，已知直线l：x=4，定点F（1，0），动点P（x，y）到直线l的距离是到定点F的距离的2倍．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若M为轨迹C上的点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，若过点E（-1，0）可作圆M的两条切线EA，EB（A，B为切点），求四边形EAMB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点P到l的距离为d，依题意得，由此能得到轨迹C的方程．
（2）设M（x，y），圆M：（x-x）²+（y-y）²=r²，由两切线存在可知，点E在圆M外，所以x＞0，又M（x，y）为轨迹C上的点，所以0＜x≤2．由，知1≤r＜2．由E（-1，0）为椭圆的左焦点，根据椭圆定义知，|ME|+|MF|=4，所以在直角三角形MEB中，，，由圆的性质知，四边形EAMB面积，由此能求出四边形EAMB面积的最大值．
解答：解：（1）设点P到l的距离为d，依题意得d=2|PF|，
即，…（2分）
整理得，轨迹C的方程为．         …（5分）
（2）设M（x，y），圆M：（x-x）²+（y-y）²=r²，其中
由两切线存在可知，点E在圆M外，
所以，，即x＞0，
又M（x，y）为轨迹C上的点，所以0＜x≤2．
而，所以，1≤|MF|＜2，即1≤r＜2． …（8分）
由（1）知，E（-1，0）为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知，|ME|+|MF|=4，
所以|ME|=4-r，而|MB|=|MF|=r，
所以，在直角三角形MEB中，，，
由圆的性质知，四边形EAMB面积，其中1≤r＜2．…（12分）
即（1≤r＜2）．
令y=-2r³+4r²（1≤r＜2），则y'=-6r²+8r=-2r（3r-4），
当时，y'＞0，y=-2r³+4r²单调递增；
当时，y'＜0，y=-2r³+4r²单调递减．
所以，在时，y取极大值，也是最大值，
此时S_max=2=．            …（16分）
点评：本题考查点的轨迹方程的求法和求四边形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行待价转化．