Question

设，等差数列中，，记=，令，数列的前n项和为.
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）  S_n==
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）成等比数列，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列

（Ⅰ）设数列的公差为，由,.
解得，="3 "     ∴
∵      ∴S_n==.
(Ⅱ)  
∴  ∴
(Ⅲ)由(2)知，   ∴，
∵成等比数列.
∴      即
当时，7，=1，不合题意；
当时，，=16，符合题意；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时， ，则，而，
所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列.
综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.