Question

已知函数f（x）=loga

x-5

x+5

，（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）设g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有实根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数m使得f（x+2）+f（m-x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由对数的真数大于零和分式不等式的解法，求出函数的定义域，利用奇偶函数定义进行判定，得到f（-x）=-f（x），所以说明f（x）为奇函数；
（2）由题意得x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

=0在（5，+∞）上有解，设h(x)=x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

，求出对称轴并对其分类讨论，借助于二次函数得到求出a的范围，
法二：利用分离常数法得a=

x-5

(x+5)(x-3)

在（5，+∞）上有解，设x-5=t，求出t的范围代入解析式后化简，利用基本不等式求出a的范围；
（3）假设存在这样的m满足条件，由对数的运算对f（x+2）+f（m-x）化简和设值，转化为：（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立，列出等价方程组进行求解．

解答：解：（1）f（x）为奇函数，
由

x-5

x+5

＞0得，（x-5）（x+5）＞0，解得x＞5或x＜-5，
∴函数的定义域是{x|x＞5或x＜-5}，
∵f（-x）=loga

-x-5

-x+5

=loga

x+5

x-5

=-f（x）
∴f（x）为奇函数；
（2）方程x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

=0在（5，+∞）上有解，
设h(x)=x2+(2-

1

a

)x-15+

5

a

，则对称轴x=-1+

1

2a

①-1+

1

2a

≤5时，即a≥

1

12

且a≠1，则h（5）＜0，无解；
②-1+

1

2a

＞5时，即0＜a＜

1

12

，则△≥0解得0＜a≤

3- 5

16

，
综上0＜a≤

3- 5

16

，
法二：a=

x-5

(x+5)(x-3)

在（5，+∞）有解，设x-5=t，则t∈（0，+∞）
设y=

t

(t+10)(t+2)

，则y=

1

t+ 20 t +12

，
∵t+

20

t

+12≥4

5

+12，当且仅当t=2

5

取等号，
∴y=

1

t+ 20 t +12

值域为(0，

3- 5

16

]，
∴a∈(0，

3- 5

16

]，
（3）若存在这样的m，则
f(x+2)+f(m-x)=loga

x-3

x+7

•

-x+m-5

-x+m+5

=loga

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

∴

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

为常数，
设

-x2+(m-2)x-3(m-5)

-x2+(m-2)x+7(m+5)

=k，
则（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立，
∴

k-1=0 (m-2)(1-k)=0 -3(m-5)-7k(m+5)=0

，解得

k=1 m=-2

，
所以存在这样的m=-2．

点评：本题对数函数奇偶性的判断，对数的运算性质应用，基本不等式求函数最值的应用，方程的根与函数之间的转化问题，以及存在性的问题的处理等，重点是转化思想的运用，综合性强，难度较大．