Question

【题目】已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：

①对任意的，总有；

②；

③若，且，则有成立，则称为“友谊函数”．

（）若已知为“友谊函数”，求的值．

（）分别判断函数与在区间上是否为“友谊函数”，并给出理由．

（）已知为“友谊函数”，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（）成立，令，，即，再根据对任意的，总有，得到，即得．（2）利用“友谊函数”的定义证明满足条件①②③，在区间上不满足②，即得为友谊函数，不是友谊函数．（3）利用证明．

（）已知为友谊函数，则当，且，

有成立，

令，，

则，即，

又∵对任意的，总有，

∴，

∴．

（）显然，在上满足①，②，

若，，且，

则有，

故，

∴满足条件①②③，

∴为友谊函数，

在区间上满足①，

∵，

∴在区间上不满足②，

故不是友谊函数．

（）证明：∵，则，

∴，

即．