Question

已知a1=1，an+1=

5

2

-

1

an

，bn=

1

an-2

，则数列{b_n}的通项公式b_n=

-

1

3

×22n-2-

2

3

．

Answer 1

分析：有已知条件推出

an-2

an- 1 2

是等比数列，求出通项公式，然后求出a_n的通项公式，最后求解数列{b_n}的通项公式b_n．

解答：解：∵a1=1，an+1=

5

2

-

1

an

∴2a_n+1a_n=5a_n-2，所以 2（a_n+1-2）a_n=5a_n-2-4a_n=a_n-2，
2（a_n+1-

1

2

）a_n=5a_n-2-a_n=4（a_n-

1

2

）
两式相除：

an+1-2

an+1- 1 2

=

an-2

4(an- 1 2 )

设c_n=

an-2

an- 1 2

，c₁=

a1-2

a1- 1 2

=-2，c_n+1=

1

4

c_n，
数列{c_n}是等比数列，
c_n=c₁•(

1

4

)n-1=-2•2^-2n+2=-2^-2n+3．
所以，

an-2

an- 1 2

=-2^-2n+3．
即a_n-2=-（a_n-

1

2

）•2^-2n+3=-a_n2^-2n+3+2^-2n+2
a_n（1+2^-2n+3）=2^-2n+2+2
解得a_n=

2-2n+2+2

1+2-2n+3

，
∴a_n-2=

2-2n+2+2

1+2-2n+3

-2
=

2-2n+2-2-2n+4

1+2-2n+3

=

2-2n+2-4×2-2n+2

1+2-2n+3

=-

3×2-2n+2

1+2-2n+3

所以bn=

1

an-2

=-

1

3

×

1+2-2n+3

2-2n+2

=-

1

3

×

1+2×2-2n+2

2-2n+2

=-

1

3

[22n-2+2]
=-

1

3

×22n-2-

2

3

．
故答案为：-

1

3

×22n-2-

2

3

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，构造法的应用，考查转化思想，计算能力．