Question

已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数在上是减函数，在上是增函数，根据函数的值域是[6，+∞），即可求实数m的值；
（2）令x²=t，从而问题可转化为f（t）在[1，4]上的最小值，分类讨论：1°当，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数；2°当，即1≤a≤16时，；3°当，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，故可求最小值g（a）的表达式．
解答：解：（1）由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，
∴，…（4分）
∴，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴，
原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°当，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时，…（9分）
2°当，即1≤a≤16时，，
3°当，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=
点评：本题考查函数的最值，考查函数的单调性，解题的关键是利用函数的单调性，解决函数的最值问题．