Question

已知实数a≠b，试解关于x的不等式：(

1

2

)b2(x-1)-a2x≥2[ax+b(1-x)]2．

Answer 1

分析：不等式即2a2x-b2(x-1)≥2[ax+b(1-x)]2，由此可得 a²x-b²（x-1）≥[ac+b（1-x）²]²，化简为 （a-b）²x≥（a-b）²x²，即x≥x²，由此解得x的范围

解答：解：由于实数a≠b，关于x的不等式：(

1

2

)b2(x-1)-a2x≥2[ax+b(1-x)]2，即2a2x-b2(x-1)≥2[ax+b(1-x)]2，
∴a²x-b²（x-1）≥[ac+b（1-x）²]²，
∴（a²-b²）x+b²≥a²x²+b²（1-x）²+2abx（1-x），
∴（a-b）²x≥（a-b）²x²，
∴x≥x²，解得 0≤x≤1，
故不等式的解集为[0，1]．

点评：本题主要考查复合函数的单调性的应用，指数不等式的解法，属于中档题．