题目内容
(本小题满分14分)
若函数
(a，b∈R)，且其导函数f′ (x)的图象过原点．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程；
(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求实数a的最大值．
(Ⅰ) 3x－y－8=0. (Ⅱ) a的最大值为
．
【解析】第一问，根据导函数图象过原点得b=0,然后就可以求出切线方程；第二问分离出参数a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根据一元二次方程根的分布求出a的最大值。
解：
，f′ (x)=x2－(a+1)x+b，
……1分
由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1). ……3分
(Ⅰ)当a=1时, 
，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3. ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y－1=3(x－3)， ……6分
即3x－y－8=0. ……7分
(Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9，
，a≤－7， ……10分
当且仅当x=－3时，a=－7． ……12分
所以a的最大值为－7． ……14分
(Ⅱ)另解：由题意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有
方程x2－(a+1)x+9=0有负数根． ……8分
又因为两根之积等于9>0，所以两根均为负数． ……10分
则
……12分
解得a≤－7， ……13分
所以a的最大值为．
……14分
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）