Question

设函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设a∈R，讨论关于x的方程f（x）+2x²-5x-a=0的解的个数．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围即为单调递增区间．
（2）将方程中的a分离出来，构造新函数g（x），求出g′（x），列出x，g′（x），g（x）d的变化情况表，求出g（x）的极值，对a讨论，判断出方程解的个数．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
∵f′（x）=2（

1

x

-x）=

2(1+x)(1-x)

x

．
∵x＞0，则使f′（x）＞0的x的取值范围为（0，1），
故函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）∵f（x）=2lnx-x²．
∴f（x）+2x²-5x-a=0?a=2lnx+x²-5x．
令g（x）=2lnx+x²-5x，
∴g′（x）=

2

x

+2x-5=

(2x-1)(x-2)

x

．∵x＞0
∴g（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上单调递增，在（

1

2

，2）上单调递减．
∵g（

1

2

）=-2ln2-

9

4

，g（2）=2ln2-6，
∴x∈（0，

1

2

）时，g（x）∈（-∞，-2ln2-

9

4

）；
x∈（

1

2

，2）时，g（x）∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4

）；x∈（2，+∞）时，g（x）∈（2ln2-6，+∞）．
∴当a∈（-2ln2-

9

4

，+∞）∪（-∞，2ln2-6）时，方程有一解；
当a=-2ln2-

9

4

或a=2ln2-6时，方程有两解；
当a∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4

）时，方程有三解．

点评：求函数的单调区间，注意要先求出函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集；判断方程的根的个数转化为求函数的极值去解．