Question

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

（1）当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1，x∈（0，+∞），
所以f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，x∈（0，+∞）．…（2分）
因此f′(2)=

1

4

．
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为

1

4

．…（4分）
又f(2)=ln2-

1

2

，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-(ln2-

1

2

)=

1

4

(x-2)，
即x-4y+4ln2-4=0．…（6分）
（2）因为f(x)=

a

x

+lnx-1，所以f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

．
令f'（x）=0，得x=a． …（8分）
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna．…（10分）
③若a≥e，则当x∈（0，e]时，f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值

a

e

．…（12分）
综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为

a

e

．…（13分）