Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于点中心对称；
③f（x）的图象关于直线x=1对称；
④f（x）在[0，1]上是增函数；
其中正确的判断是________（把所有正确的判断都填上）．

Answer 1

①②③
分析：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判断①
由f（-x）=f（x），f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），则可求f（x）图象关对称中心，又f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故可判断②③
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上的单调性，可判断④
解答：由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），即可得周期T=2，故①正确
由f（x）为偶函数可得f（-x）=f（x），由f（x+1）=-f（x）可得f（1+x）=-f（-x），则f（x）图象关于对称，又f（x）图象关于y轴（x=0）对称，故x=1也是图象的一条对称轴，故②③正确；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，故④错
故答案为：①②③
点评：本题考查函数的周期性，函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．