Question

已知函数f(x)=

lnx

x

-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）试证明：对?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f(x)=

lnx

x

-x，∴f′(x)=

1-lnx

x2

-1，令f′（x）=0，得x²=1-lnx，显然x=1是此方程的解；
令g（x）=x²+lnx-1，其中x∈（0，+∞），则g′(x)=2x+

1

x

＞0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又x=1是方程f′（x）=0的唯一解，
∴当x=1时，函数有最大值f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
故①当0＜2m≤1，即0＜m≤

1

2

时，f（x）在[m，2m]上单调递增，f(x)max=f(2m)=

ln2m

2m

-2m；
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减，f(x)max=f(m)=

lnm

m

-m；
③当m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1时，f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1，
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，当且仅当x=1时“=”成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）；
∵

1+n

n

＞1，∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

，
即对?n∈N^*，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．