题目内容

已知点P是直线l：ax+y=1上任意一点，直线l垂直于直线y=-x+m，EF是圆M：x²+（y-2）²=1的直径，则 $数学公式$ 的最小值为________．

- $\text{[math]}$
分析：数形结合，由 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，平方可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，△PEF中，由余弦定理可得 PE²+PF²=2 $\text{[math]}$ +4，综合可得 $\text{[math]}$ =PM²-1，由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此求得 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：

解：由两条直线垂直的性质可得-a×（-1）=-1，解得a=-1，
故直线l：ax+y=1，即 y=x+1．
如图所示：由题意可得M（0，2），EF=2 为直径．
由于 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，平方可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ①．
△PEF中，由余弦定理可得 EF²=4=PE²+PF²-2PE•PFcos∠EPF
=PE²+PF²-2 $\text{[math]}$ ，
∴PE²+PF²=2 $\text{[math]}$ +4 ②，
把②代入①可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2PM²- $\text{[math]}$ -2，
∴2 $\text{[math]}$ =2 PM²-2，即 $\text{[math]}$ =PM²-1，故当PM最小时， $\text{[math]}$ 取得最小值．
由于PM的最小值是点M到直线l：x-y+1=0 的距离，为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ 的最小值为 PM²-1= $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ．
故答案为- $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，直线和圆相交的性质，余弦定理的应用，属于中档题．