题目内容

已知定义在[-1，1]上的单调函数f（x）满足f(
1
3
)=log23，且对于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）试求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范围．
（1）由题意可知：令x=y=0，则
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函数f（x）为奇函数，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函数为单调函数，且f(
1
3
)=
log32
＞f（0）=0，∴函数在[-1，1]上为增函数，
所以
-1≤1-m≤1
-1≤2m-1≤1
1-m＜2m-1
，
解得：
2
3
＜m≤1
∴m的取值范围为：
2
3
＜m≤1．
练习册系列答案
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10、已知定义在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos2x）的值域为（　　）
已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=
4-8|x-
3
2
|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
．给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，4]；
②关于x的方程f(x)=(
1
2
)n(n∈N*)有2n+4个不相等的实数根；
③当x∈[2n-1，2n]（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=2；
④存在x0∈[1，8]，使得不等式x0f（x0）＞6成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为
①③
①③
．
（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）=
2x4x+1
．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=-2x•f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；
（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．
已知定义在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos2x）的值域为（　　）
A．[-1，1]B．[-3，-1]C．[-2，0]D．不能确定
已知定义在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos2x）的值域为（ ）
A．[-1，1]
B．[-3，-1]
C．[-2，0]
D．不能确定

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